初等数学2300年极重大错误：将无穷多各异点集误为同一集
初等数学2300年极重大错误：将无穷多各异点集误为同一集——让中学生也能一下子认识3千年都无人能识的直线段
黄小宁（通讯：广州市华南师大南区9-303 邮编510631）
[摘要]初等几何有史2300多年来一直认定相互平行且距离为0的直线必重合从而有直线公(定)理，进而断定：等长的直线段必合同。然而集合、几何起码常识及区间概念凸显此“初等几何起码常识”其实是将无穷多各异直线（段）误为同一直线（段）的“以井代天”的2300年“井底蛙”误区。判断两点集是否≌的全新方法让中学生也能一下子认识3千年都无人能识的伪二重、伪≌直线段，进而认识初等数学有一系列搞错函数的值域的几百年重大错误——百年病态集论的症结。
[关键词]推翻直线公（定）理；推翻百年集论和百年“R轴各点与各标准实数一一对应定理”；伪二重、伪≌点集；直线（段）的伸缩变换；函数的值域；有序连续变化的变化规律；保序及保距变换
文献[1][2]证明了直线A沿本身保序平移或伸缩后就≠A了，故“直线公（定）理”其实是将无穷多各异直线误为同一线的重大错误，但未能从几何上来阐明此事实，本文使人可如小学生看图识字那样看图识此事实。公元前1100年中国人商高同周公的一段对话谈到了勾股定理说明人类认识几何学的直线段起码已有3千多年。2300多年来学、教过初等几何的人数以亿计，其中不少人是著名科学家及著名教育家，他们都没发现初等几何有重大错误。“所以显然有科学常识”：因数学是严密精确的代名词故数学，尤其是“已成熟到不能再成熟”的初等数学对直线（段）这一最基本、简单图形的认识绝不可能有极重大错误; 绝不可能有人能推翻现代数学的公(定)理。有一种“凡是”：凡是连“小人物”也谈不上的“草根”绝不可能有重大科学发现。人类由认识直线段到发现用而不知的伪二重、伪≌直线段竟须历时3千多年！但若担心广大高中生（应熟悉非常简单易懂的保距变换概念）看此文后还不能立刻认识这类线段那就是污蔑其是弱智群体了，因挑战各“绝对不可能”的“反科学”的“超人”发现来自于太浅显的：⑴集合起码常识a：所谓集A=B是说A的元与B的元可一一对应相等，故点集A≠B的原因是不可“一一对应相等”。⑵中学的几何起码常识c：重合的有界图形（点集）必合同。⑶区间概念。
一、可看图识“字”：直线Z沿本身平移或伸缩后就≠Z了——直线公理严重歪曲了事物的本来面目
因与x∈R相异或相等的实数均可表为y=x+△x（△x可=0也可≠0）故x变换为实数x+△x的几何意义可是：一维空间“管道”g内R轴上的质点x∈R(x是点的坐标)沿R轴方向移动变为还在g内的点x′=x+△x，即实数的改变可形象化（注！是真正的形象化而非没有形象的假形象化）为管道g内质点的位置的改变（设各点只作位置改变而没别的改变即变位前后的质点是同一质点）。《复分析可视化方法》是复分析领域的一部名著，其公开挑战当前占统治地位的纯符号逻辑推理。显然没有宽度的直线和没大小的“点”是没有形象的，从而是不可视的。R可形象化为R轴, R各数x可形象化为 R轴各点；变数可形象化为g内的动点。数学的图形可是离散的点的点集。直线上的点集E：……（这不是省略号）各点可作保距或非保距平移。至少有两元的点（数）集 A各元x保距（偏离原位）变为x′=x+△x组成元为点x′的B≌A。铁球是铁分子的集合A，铁球的热胀冷缩导致其组织结构变了，A平移到新位置成A′还是由移动前的所有铁分子组成的集，这移动只是改变各分子的位置而不能改变A的组成成员和组织结构。同样，保距变换是刚体运动从而不改变点集的组成成员和组织结构。极显然：E各点之间任意交换位置后还是原点集E，但点与点之间的距离变大（小）后（集的组成成员没变但组织结构变了）就不能还是原点集了。所以不改变组成成员的变距变换必改变点集的组织结构。有了各点还须有规定各点如何排列聚集的法则才能确定一点集；点还是这些点，但其可聚集成长度为c的直线段A也可聚集成长为c的圆弧等等，A还可伸长（压缩） 变长（短）为新线段(～A)还由A的全部点组成。这说明：质点的坐标与质点本身有根本区别从而使质点集与数（数组）集有根本区别。E中两个点形成点集B，两点的距离ρ一发生变化就形成还由这两点组成的集≠B，因ρ≥0可取无穷多个数故这两点可形成无穷多均由其组成的各异点集。要注意集的组成成员与集的元素是有根本区别的，例｛2，2，2｝由3个2组成但其元却只有一个。
高中有“平面内的不变直线”知识。集合起码常识a和有序连续变化的变化规律显示自有变换（函数）概念几百年来数学一直存在重大错误：将变动了的直（射）线误为不变直（射）线。
设A=｛x｝表A各元均由x代表，变量x的变域是A，其余类推。说R轴各元点x可沿轴保距平移变为点x+△x=y=x+1就是说R轴可沿轴正向平移距离1变为y=x+1轴，其余类推。R各元x保序变为y（x）=x+△x=kx生成I={y}各元y=kx中的正常数k若≈1则I各元y=kx≈(1+0)x=x (x=0时kx=0)与R各元x一一对应近似相等（或对应相等）使I≈R（xy平面的直线y=kx≈x与直线y=x近似重合）；显然当且仅当k=1时才有：I各元kx=x与R各元x一一对应相等使I=R。可见数集相等概念表明x轴保序伸缩变换为y（x）=kx轴≠x轴（正常数k≠1）；当然肉眼不可察觉此事实，但下文使人凭肉眼就能察觉。
有共同横坐标的点（x，y）与点（x，y′≈y）近似重合。直线A：y=x（y∈R）各元点P（x，y=x）中的x 不变而y=x保序变为y=kx≈x（正常数k≈1）就使A变为元是点P′（x，y=kx≈x）的直线B：y=kx≈x而与直线y=x近似重合，原因是两线各点的纵坐标y=x与y=kx≈x一一对应近似相等（或对应相等）；显然若“一一对应相等”则两线必重合，故两线只可近似重合而不可重合的唯一原因是各y=x∈R与各y=kx≈x不能一一对应相等。这就形象地说明R各元x非恒等变换地保序变为y=kx生成I各元y=kx与R各元x不可一一对应相等使R≠I。
h定理1：U各元点（x，y=x）中的x 不变而y变为y′=y′（x）得元为点（x，y′）的V，V=U的必要条件：U、V各元点有一一对应关系：点（x，y）↔点（x，y′）且y=x与y′=y′（x）同为x的增函数；满足此条件的U、V不重合的原因是关系式中的纵标y′与y不可一一对应相等。
证：U、V各元点（x，y=x）与（x，y′）中的函数y=x与x的对应关系的关系图就是U，函数关系y′=y′（x）的关系图就是V，若U=V则显然定义域相同的y′与y必是同一函数。A各元y=x变为y′= y′（x）组成B=｛y′｝,设各x是平面点的横坐标，各y与y′是纵坐标。y（x）=y′（x）时点（x，y）∈U与点（x，y′=y）∈V重合说明U、V各元点的纵标y（x）与y′（x）若一一对应相等则各元点必一一对应重合使U=V。故若U≠V则必表明各纵标y与y′不可一一对应相等。证毕。
h定理2（实际上是文[3]中的h推论1）：至少有两元的数集A非恒等变换地保序变换为B必≠A。
证1：若数集A＝B则显然A的元与B的元必可由小到大一一对应相等。A各数在集内分别都有一定的大小“名次、地位”，例在A={0，1，2}中：2是第一大的数，1是第二大数，0是第三大数；A各元x保序变为x2组成{0，1，4}也有第一大、第二大、第三大的元。大小互不同的鸡组成集A和B，a（b）是A（B）中第n大的鸡，显然若A=B则a和b必是同一鸡。任一A=｛x｝各数x保序变为y=y（x）（y是增函数）组成B=｛y（x）｝，x∈A在A中的大小“地位”与y（x）∈B在B中的大小地位是一样的，显然若A=B则x与y（x）必是同一数，故若y（x）不≡x则B≠A。
证2：x轴各元点x变为点y=x得元为点y=x的y=x轴。A各元y=x可形象化为y=x轴(⊥x轴)的元点y=x∈y轴而分别都有一定的高度（可<0），A各点y=x沿y轴方向非恒等变换地保序升高（降低）变为点y′（x）形成B=｛点y′｝⊂相应数轴，y′（x）是x的增函数。将各点（x，y）的纵标y称为点的高，直线y=x是由高低各不同的点（x，y=x）从低到高有序聚集成的。直线y=x的子集U=｛（x，y=x）|y=x的变域是A｝各高为y=x的元点非恒等变换地保序升高（降低）（保高、低顺序）移动变为高是y′（x）的点P′（x，y′）∈V，因各元点移动的方向均⊥x轴故各P′不能都还在直线y=x上；故所有点P′组成的V=｛（x，y′（x））| y′的变域是B｝≠U，原因是各y与y′不能一一对应相等，据h定理1。这形象地说明A各元y=x与各对应y′（x）∈B不能一一对应相等使A≠B。证毕。
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